UTPRØVD I EN NIENDEKLASSE
SEMESTEROPPGAVE
I
MATEMATIKK
AV
TOVE HÅRSTAD
RUNE KILLI
MONICA REHAUG
1 E
TLH VÅR 1994
INNHOLDSFORTEGNELSE
Innledning..............................................s.1
Definisjoner............................................s.1
Motivasjon..............................................s.2
Generelt om motivasjon.............................s.2
Indre motivasjon og differensiering................s.2
Fagrelatert motivasjon.............................s.3
IM-motivasjon......................................s.3
Overraskelse..................................s.3
Delmålsoppsetting.............................s.4
UM-motivasjon......................................s.4
Om oppgavetypene: Hva, Hvordan, Hvorfor.................s.5
Hva................................................s.5
Hvordan............................................s.5
Hvorfor............................................s.7
Analyse av noen oppgaver................................s.8
"En glad pizzagjeng"...............................s.8
"En glad laks".....................................s.9
"Far og sønn"......................................s.10
"Halvparten av det dobbelte".......................s.10
Utprøvelse av de analyserte oppgavene i praksis.........s.12
Konklusjon..............................................s.12
Oppgavesamling..........................................s.13
Fasit til oppgavesamling................................s.17
Litteraturliste.........................................s.18
Målet med denne semesteroppgaven er å komme med ideer angående bruk av grubliser, som kan gi økt motivasjon i faget matematikk. Grublisene er matematikkoppgaver med en annen innfallsvinkel enn elevene møter til vanlig i sin matematiske hverdag og de er tilrettelagt slik at de passer til alle elevers faglige nivå. Grublisene kan gjerne introduseres i 1.klasse og de kan benyttes helt opp i videregående skoler. Oppgavene tar sikte på at elevene må resonnere seg fram på en systematisk måte og analysere opplysningene slik at de selv kommer fram til løsningen uten at algoritmen er gitt på forhånd. Grublisene er ikke inndelt i matematiske kategorier, slik som geometri, algebra etc., og de deles ut uavhengig av hvilket emne klassen jobber med.
Vi har prøvd ut noen få grubliser i praksis i en niendeklasse, og et kort sammendrag av det vi erfarte der kommer som en egen del etter analysen av de utprøvde grublisene.
De siste sidene inneholder et utvalg grubliser og svar på disse. De er ment som hjelp til å lette arbeidet for andre lærere som vil bruke grubliser i sin egen klasse.
(Ragnar Solvang 1986).
Nedenfor kan vi se en figur som viser akkurat dette.
Figur 1 : Oppdeling av motivasjonsbegrepet
Motivasjon Ytre motivasjon Indre motivasjon
Det psykologiske plan Det faglige plan Fagrelatert motivasjon IM-motivasjon UM-motivasjon -overraskelse i framstillinga -interesser -delmålsoppsetting -kontrast i framstillingen -konflikt i framstillingen -ufullstendighet i framstillingen (Ragnar Solvang 1986)
I M-87 står det at alle elever skal ha de samme sjansene til å få utfordringer og til å få dekt behovene sine for å mestre oppgaver (M-87 s.27). Dette har vi tatt hensyn til da vi har forskjellige vanskelighetsgrader på grublisene.
Den indre motivasjonen må virke slik på elevene at de løser matematikkoppgaver fordi det er gøy, og fordi det oppleves som meningsfyllt å holde på med. Dette kan sammenlignes med hobbyer som elevene har.
Dette er med på å gjøre at eleven oppfatte matematikkfaget som rutinepreget og kjedelig, og den indre motivasjonen kan regelrett bli drept. Det motsatte og riktige i slike tilfeller vil være å la elevene selv undersøke og finne ut av et problem som læreren legger fram, slik at de kan stille spørsmål til den matematiske situasjonen. En slik metode kaller vi induktiv læringsmetode, og den fører til at elevene får delta i den spennende og undersøkende prosessen det er å være matematiker. Grublisene være er ment å gi elevene denne muligheten.
Den fagrelaterte motivasjonen tar utgangpunkt i elevenes forkunnskaper og gir dem utfordringer som de selv vet de kan mestre. Klassen skal ha progresjon samtidig som det skal være en differensiert undervisning. Som nevnt tidligere har grublisene våre ulike vanskelighetsgrader, samtidig som de mest mulig tar utgangspunkt i elevenes hverdag.
IM-motivasjon går mest på selve regneprosessen elevene må utføre for å kunne løse oppgaven, og den er inndelt i flere kategorier. Figur 1 viser bare eksempler på kategorier, som kan fremme elevenes indre motivasjon, og nedenfor vil vi ta for oss noen av dem.
I utgangpunktet virker oppgaven enkel fordi vannliljen har brukt 8 dager på å dekke den ene halvparten av vannet, og da vil den vel dermed bruke 8 dager til for å dekke den andre halvdelen. Men dette er feil. Riktig svar er en dag. Når vi får et slikt tildels overraskende svar, vil vi bli inspirert til å løse flere slike oppgaver med lignende oppgavelyd. Vi vil da teste oss selv for å finne ut om vi går i fella neste gang. Etterhvert vil vi bli inspirert til å løse vanskeligere oppgaver, da vi vet vi klarer å unngå fallgruvene. Vi har alle behov for å strekke oss litt for å klare vanskeligere oppgaver senere.
Den utenfor matematiske motivasjonen tar utgangspunkt i en praktisk situasjon som er kjent for elevene. Selve situasjonen virker da motiverende for dem. Elevene kan også bli motivert ved slike oppgaver fordi de kan se at de kan benytte matematikken utenfor klasserommet. Det skal ikke mer til enn å forandre oppgavelyden i oppgavene til noe som fanger elevenes interesse, f.eks elevenes hobbyer, familiesituasjon, nærmiljøet o.l. Er det en skole i en jordbruksbygd kan oppgavene ta utgangspunkt i gårdsbruk, i stedet for fiskerifabrikk som elevene ikke har noe kjennskap til.
Med tanke på bruk av disse grublisene i klassen kan det være greit å ha klart for seg visse didaktiske momenter, slik som hva, hvordan og hvorfor.
Vi vil gi elevene grubliser som virker motiverende. De vil være ganske lik problemlsningsoppgaver. Elevene må tenke og planlegge selv før de eventuelt kan bruke kjente algoritmer og dermed løse oppgaven. Grublisene kan, som nevnt før, inneholde en overraskelse innenfor oppgaven, eller de vil inneholde delopplysninger som fører til delsvar, som trengs for å løse den endelige oppgaven. Noen av grublisene er rene talloppgaver, mens andre er praktiske oppgaver, logikk oppgaver og resonnement oppgaver. Grublisene skal ikke følge pensum, men gis uavhegig ut ved passende anledninger.
Grublisene bør være slik at hver enkelt elev må strekke seg litt for å løse oppgaven. Oppgavene vil være tilpasset til tre nivåer som er ukjent for elevene, men kjent for læreren. Vi henviser her til figur 5.6 s.105 i Gunn Imsens bok "Elevens verden". Noen av grublisene har en oppgavelyd som er ment å fenge elevene. Dette gjøres ved å forandre navn o.l. Det lønner seg å bruke navn på elever fra klassen, eller navn på kjendiser som elevene er opptatt av. Oppgavelyden blir også bedre hvis den tar fatt i elevenes interesser og hverdag. Elevene kan dermed identifisere seg med oppgaven og føle at den angår dem. Det er ikke lenger en relevant matteoppgave at en kronesis koster en krone.
Når, vi skal la elevene jobbe med grubliser, og hvordan er også problemstillinger som læreren må tenke igjennom og ta hensyn til får det hele settes ut i livet. Her ligger det atskillig flere muligheter enn det som kan synes ved første øyekast. Den første måten, og kanskje den mest naturlige å ta fatt på for mange lærere, ville være å la elevene jobbe med grublisene individuelt. Selv om individuelt arbeid er omtalt som en bra arbeidsmetode for elevenes selvstendighetsutvikling (M-87 s.51), må ikke arbeidsformen overdrives. Individuelt arbeid har vært den vanligste arbeidsmetoden i skolen gjennom mange år, og kan derfor være vanskelig å gå litt bort ifra for mange lærere.
Grublisene egner seg ypperlig som samarbeidsoppgaver mellom elevene. Her kan det varieres fra to personer på en gruppe og helt opp til at hele klassen løser en grublis i fellesskap. Læreren kan også skrive opp forskjellige forslag til fremgangsmåter på tavla, og organisere det hele. Gruppesammensetningene kan varieres ved f.eks. å la svake og sterke elever sitte sammen og løse problemer i felleskap, eller å la elever på omtrent samme faglige nivå jobbe sammen. Samarbeid som arbeidsform er omtalt som bra for elevene i M-87 (s.50-51). Valget mellom å arbeide individuelt eller i grupper kan også overlates til elevene. Læreren skal derfor ikke bryte inn og oppløse elevgrupper som er spontant dannet av elevene selv, men la dem jobbe sammen på den måten som faller naturlig for dem.
For å få oppgavene så like som mulig for alle elevene, uavhengig av det faglige nivået, legger vi inn skjult differensiering i oppgavene, som kun læreren vet om. Dette vil si at oppgaveteksten er den samme i utgangspunktet for alle elevene, men læreren gir de elevene som ligger på et lavere faglig nivå, et hint eller en tilleggsopplysning som er til hjelp for å komme i gang med problemløsningen. Det er ikke sikkert at det er bare de svake elevene som trenger disse hintene, for når det gjelder grubliser kan godt ellers faglig svake elever løse grubliser som de ellers faglig sterke ikke klarer (Høines s.138). Her kommer vi også inn på et av grunnprinsippene i M-87, som sier at alle elever har rett på å få undervisningen lagt til rette, slik at det svarer til deres faglige nivå (M-87 s.13). Det vil alltid være slik at det spriker mellom elevers faglige nivå i en klasse.
Når skal vi så la elevene jobbe med grubliser? For at elevene skal få et like naturlig forhold til grublisene som de har til den vanlige matteundervisningen, mener vi at det beste ville være å gi dem grubliser så ofte som mulig. Samtidig kan tidspunktet for utgivelsene variere. Hvis f.eks elevene har jobbet bra i en mattetime, kan læreren som en avveksling mot slutten av timen gi elevene en grublis de kan jobbe med. Det skal likefullt ses på som vanlig matematikk, men elevene skal ta i bruk andre tenkemetoder enn de gjør til vanlig. Vi håper at elevene etterhvert også begynner å bruke denne problemløsende tenkemåten i de tradisjonelle matteproblemene de til daglig støter på.
Læreren kan også sette av en hel time til å jobbe med grubliser, eller de kan tas med hjem som lekser og gjennomgås på skolen i neste mattetime. Etterhvert håper vi at forholdet til grublisene blir slik at elevene tar blyanten fatt og lager sine egne grubliser og matematiske gåter. Disse kan elevene prøve ut på hverandre, læreren, venner eller foreldre. Ved å lage egne grubliser utvikles dessuten en mer kreativ side ved elevenes arbeidsvaner, og elevene vil også føle seg mer som matematikere i og med at de får lage problemer selv. Dette kan overføres og dras nytte av i andre fag i skolen.
Hvorfor kan man bruke grubliser i klassesammenheng? I M-87 står bl.a disse målene som matematikkundervisningen skal ta sikte på:
(M-87 s.194)
Dette mener vi grublisene helt og holdent tar vare på. Som før nevnt kan man arbeide med grubliser på mange måter, men uansett må man ha klart for seg hvilke opplysninger man har, og hva man skal frem til. Her hjelper det altså ikke å sette opplysningene inn i en kjent algoritme, regne ut og vips så har man svaret. Noe av vitsen med disse grublisene er at de skal sette tankene i sving hos elevene, og ved arbeid med grublisene er det ikke alltid svaret som er hovedpoenget, men fremgangsmåten og tenkemåten. Grublisene er ment å være noe annet enn den ordinære matteundervisningen som i mange klasserom har en tendens til å bli bare mengdeinnlæring av algoritmer. Dette er farlig fordi det stopper den kognitive utviklingen hos elevene og oppgavene blir bare utfyllingsoppgaver som elevene løser uten at de egentlig skjønner hva de gjør. Her mener vi grublisene har en fordel. Her må elevene selv/eller gruppevis komme fram til en løsningsstrategi. Elevene må med andre ord selv tenke over hva oppgavelyden sier og samle opp de nødvendige dataene i oppgaven. Her oppmuntres elevene til å prøve og feile.
Vi har her analysert de oppgavene vi har prøvd ut i en niendeklasse. Vi tar da for oss:
Oppgaven er en delmålsoppgave, og den tar utgangspunkt i en situasjon som er kjent for de fleste elever. For å løse oppgaven må elevene bruke prøve- og feile-metoden. Denne metoden krever at elevene klarer å se for seg regneprosessen før de begynner. Det er heller ingen algoritme som elevene kan fylle opplysningene rett inn i. Ved å bruke slike oppgaver stimulerer vi elevenes selvstendige tenkning.
Utgangspunktet i oppgaven ligger i den typiske ungdomskulturen, som elevene er godt kjent med. Den ligger innenfor deres interesseområde og det virker motiverende. Oppgavelyden er dessuten kort og grei å lese.
Regneartene som elevene vil få bruk for i denne oppgaven er addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon. De vil også få bruk for paranteser.
Oppgaven slik den fremstår er definert som lett. Oppgavelyden bør forandres slik at den i henhold til M-87 tar utgangspunkt i elevenes verden. "En gjeng gamle studenter" kan byttes ut med klassen elevene går i, og "pizzeria" kan byttes ut med et lokalt pizzasted. For eventuelt å gjøre oppgaven vanskeligere, kan prisene på pizza og sluttsum forandres.
Her må elevene foreta flere regneoperasjoner etter prøve- og feile-metoden. Samtidig er prisene litt verre og regne med og tipsen gjør det hele litt vanskeligere.
x kjøper pizza til 70 kroner
y kjøper pizza til 90 kroner
z er bare et delsvar
I 1000 - x*70 = z der z : 90 = y
Antall personer = x + y
Dette er en typisk resonnement oppgave. Det er heller ikke her noen kjent algoritme å gripe fatt i. Men eleven må kunne tenke seg til at de kan sette opp det hele som en ligning med en ukjent.
Oppgavelyden er ikke så helt ukjent for elevene i Trondheimsområdet, da fjorden ligger like ved. Vi kan derfor si at den lyder relevant for elevene. Oppgaven kan virke forvirrende ved første gjennomlesning, men etterhvert vil elevene forstå at det lønner seg å tegne hjelpefigur eller skal vi kanskje si hjelpefisk.
I denne oppgaven må vi bruke multiplikasjon, divisjon og addisjon for å kunne løse oppgaven. Elevene må også kunne å sette opp ei ligning utifra de opplysningene som er gitt.
Oppgaven er definert som vanskelig, men den kan forenkles ved å gi hint om tegning av hjelpefisk og ved at vi kaller kroppen til fisken for x. Vi kan hjelpe enda mer ved å si at fisken består av tre deler: hale, kropp og hode.
Hjelpefisk | | 13+1/2x x 13 Sett på måla. Regn først ut kroppen x= 13+13+1/2x 1/2x = 26 x = 52 Halen: 13 + 1/2*52 = 39 Hele fisken : 13 + 39 + 52 = 104 Hele fisken er 1,04 meter.
Oppgaven løses ved hjelp av en ligning med to ukjente, farens alder og sønnens alder.
I oppgaven vil vi få bruk for alle de fire regneartene. Vi vil også få bruk for parantesregning.
Oppgaven er vanskelig. Det som er det største problemet her er å sette opp ligningene. Et hint vil være at neste år er sønnen (S+1) år mens faren er (F+1) år.
I år : I S + 32 = F
Neste år : II 5 (S + 1) = F + 1
Bruker innsetingsmetoden.
Vi får da ut av ligning II :
5 (S + 1) = S + 32 +1
5S + 5 = s + 33
4S = 28
S = 7
Sønnen er 7 år.
7 + 32 = F
F = 39
Faren er 39 år.
Dette er en ren talloppgave. Her trengs kun matematiske kunnskaper og litt logisk tenkning for å komme i gang med løsningen av oppgaven. Angrepspunktet er å starte bakfra med de opplysningene oppgaven gir.
Forståelsen av oppgaven krever gjentatte lesninger av oppgaveteksten, da den kan virke forvirrende ved første øyekast. Elevene må være strukturert i sin arbeidsform, for det er lett å gå i den fellen at halvparten opphever det dobbelte og kvadratet opphever kvadratroten.
I denne oppgaven får elevene bruk for kvadratrot, potens, divisjon, parenteser og multiplikasjon. Det er viktig at elevene vet hva de forskjellige uttrykkene betyr og å bruke de rett i sin utregning.
Denne oppgaven er i utgangspunktet vanskelig, fordi faktaopplysninger kommer så tett og angrepspunktet er bakfra. Oppgaven krever mye logikk og strukturering av dataene. De flinkeste elevene kan regne oppgaven slik den står, men de svakere elevene trenger kanskje en del tilleggsopplysninger for å komme i gang. For å gjøre oppgaven lettere kan man f.eks. føye til: Kall det ukjente tallet x. Begynn bakfra. Husk parenteser. Sett opp ei likning som er lik 6.
Vi differensierte grublisene slik at "M'er kandidatene" fikk de vanskeligste oppgavene, "G'er kandidatene" fikk oppgaver med blandet vanskelighetsgrad mens de svakeste fikk de enkleste grublisene. Elevene var ikke selv klar over denne differensieringen. Hver elev fikk utdelt 3-4 oppgaver, og de fikk jobbe med grublisene i ca 15 minutter i slutten av en mattetime.
Grublisene ble motatt med blandede følelser, noen gikk løs på oppgaven med en stor iver, mens andre var litt mer reservert. Men alle prøvde seg på grublisene ut fra de forutsetningene de hadde. Ikke alle taklet oppgavelyden, da navnet på oppgaven ikke ledet elevene inn på en bestemt regneart/matteemne. I vanlige matematikkbøker er oppgavene inndelt i klare avgrensede emner, mens her må elevene selv finne ut hvilken kategori oppgaven hører inn under. Dette er en av de største barrierene som må overvinnes. Standard spørsmålet er uansett ferdigheter: "Skal jeg gange eller dele her, lærer?" o.l. Dette erfarte vi også i timen da flere av elevene trengte hjelp for å komme i gang.
Det viste seg at vanskelighetsgraden på grublisene ble i høyeste laget. Ved introduksjon av grubliser i en klasse bør alle elevene få prøve seg på grubliser som ligger på et slikt nivå at de lett løser dem. Etterhvert som elevene kommer inn i det tankemønsteret som oppgavene krever økes vanskelighetsgraden. Elevene vil da få den motivasjonen som trengs for at grublisene skal bli interessante.
Gjennom utprøving av grublisene i praksis, fant vi også ut at grublisene vi hadde valgt var litt for vanskelige. Grunnen til at elevene fant grublisene vanskelig kan være at elevene ikke hadde vært vant til slike oppgaver og arbeidsmåter før. Det vil derfor være en ide å gi elevene flere opplysninger i de aller første grublisene som blir gitt ut, slik at de blir vant med arbeidsmåten. Etterhvert bør man gjøre grublisene vanskeligere og vanskeligere.
Nedenfor følger et utvalg oppgaver som kan brukes som grubliser i slutten av ungdomstrinnet. De er hentet fra:
Vi har forandret teksten på en del av oppgavene slik at de griper mer fatt i elevenes hverdag. Endringene er bare forslag fra vår side, for enhver lærer bør tilpasse oppgavene slik at de blir relevante for sine elever.
Berthelsen, Herman Nøtteknekkeren II
Chr. Schibsteds Forlag 1978
Høines, Marit Johnsen Begynneropplæringen
Caspar Forlag 1987
Imsen, Gunn Elevens verden
TANO A/S 1991
Kessel, Rudi 99 Mattenøtter
Universitetsforlaget A/S 1989
Kessel, Rudi 77 Mattenøtter
Gyldendal Norsk Forlag 1990
Kirke- og undervisningsdep. Mønsterplanen for grunnskolen
Aschehoug & Co. 1987
Solvang, Ragnar Matematikk fagmetodikk
Mellin-Olsen, Stieg NKI-Forlaget 1978
Solvang, Ragnar Matematikkdidaktikk
NKI-Forlaget 1986