Learning by failing

Det begynner å bli en tradisjon å avslutte året med en dobbelttime ute i påvente av muntlig eksamen. De siste to årene har jeg tilbragt minst en time per dag på en lekeplass, og jeg har gått med noen tanker rundt fysikken bak lekeapparatene. naturfag.no hadde en stor samling lekeplassforsøk, og noen fritt fall-demonstrasjoner (trappetroll og flaske med hull) som jeg ergrer meg over ikke å ha brukt tidlig i året.

Jeg hadde funnet en stor lekeplass med mange lekeapparater og laget et oppgaveark. Det ble lagt opp som en lagkonkurranse, og for å sikre et minimum av innsats, valgte jeg å gå for ekstern motivasjon i form av sjokolade til vinnerne. Elevene mine så ut til å trives med oppgavene, de var utenfor pensum og krevde at de måtte tenke litt kreativt selv.

Bare enkelt utstyr var nødvendig: trappetroll, stoppeklokker og flasker som skulle fylles opp og gjennomhulles. Dessverre er det langt mellom lekeplassene med karusell nå for tiden, sikkerheten står vel i høysetet.

Drosjekø i New York, av bitchcakesny på flickr.

Ved å bare se på drosjenummerne på en holdeplass, kan du si noe om hvor mange drosjer det er totalt? Anta at de er etterfølgende fra 1, at de er et tilfeldig utvalg og at alle drosjene er i samme sekvens (samme firma).

Dersom du for eksempel får se nummer: 94, 101, 36, 41 og 28. Hvor mange må det minst være totalt? Er det sannsynlig at det er så mange som ti tusen drosjer? Hvilke strategier kan du bruke for å estimere antallet? Se nederst for «fasit».

Denne oppgaven er fin som et avbrekk eller introduksjon til utvalgsundersøkelser. Å vurdere om en estimator er forventingsrett er ikke pensum i videregående, men oppgaven går fint uansett. Aktuelle estimatorer kan være: gjennomsnitt + et par standardavvik, største verdi, største verdi + minste verdi, 2 ganger gjennomsnittet, 2 ganger medianen, max/0.9 osv.

Oppgaven har en historisk signifikans, tidlig i 2. verdenskrig lurte alliert etterretning på hvor mange stridsvogner det var på tysk side. De hadde kommet over noen få, og oppdaget at de var nummerert sekvensielt. Estimatet fra statistikerne var langt mer presist enn etterretningstjenestens estimat.

Presentasjon av problemet, med opplegg og video. Mange lenker videre til slutt i presentasjonen.

De fem nummerne er tilfeldige tall mellom 1 og 137.  Jeg brukte i klassen fem tall mellom 1 og 317 på lapper som de trakk gruppevis. Det ble overraskende innbitt konkurranse og hemmelighold av tallene.

Inspirert av denne aktiviteten som var stor suksess i X-klassen min, har jeg laget en liten GeoGebra-applet. Den sammenligner verdier fra en terning med gjennomsnittet for fem terninger og lar deg variere antallet kast.

Det artig med mulighetene som digitale verktøy åpner, men alt har sin tid. Når elevene lager dataene selv og langsomt merker at selv om hver terning varierer uniformt så trekker de mot gjennomsnittet, vil det kunne gi mer forståelse enn å klikke litt rundt for å se på fine figurer. De digitale verktøyene kan gjenta forsøket mye raskere, og kan brukes etter at konseptet er forstått.

Nå må pappapermen og kanskje påsken brukes til å bli mer venn med GeoGebras oppfatning av datastrukturer, så er målet at antallet terninger også kan varieres. Jeg trenger også å få mer forståelse av classid-begrepet på tvers av nettlesere, det er ikke bare lett i XHTML-Strict.

Jeg har begynt å ønske meg «fred på jorden og snille barn» til jul, men her kommer noe som vil gjøre livet mitt både privat og som lærer bedre: en kopp som holder optimal temperatur på kaffen. Når dette i tillegg kommer kvelden før jeg skal ta opp smelte- og fordampningsvarme i Fysikk 1, kunne det knapt ha vært bedre.

Materialet strømmer i "kanaler" langs siden av koppen. Bilde fra Fraunhofer IBP

To ting som elevene ikke burde synes var opplagt er hvorfor isvann alltid er kaldt, og hvorfor vann ikke blir varmere enn 100 grader selv om det kokes lenge. Ved smeltepunktet eller kokepunktet går overskuddsenergien med til faseovergang i stoffet, i stedet for temperaturøkning. En morsom demonstrasjon er å blande snø og salt, da faller smeltepunktet til ca -20 grader og blandingen kjøles raskt ned til den temperaturen. Selv om det blir kaldere, smelter snøen lettere fordi det er mye varmeenergi i de 20 gradene den kjøles ned.

En gruppe forskere ville ha en kopp som kjølte ned varm drikke dersom den var for kald, og holdt den ved optimal temperatur så lenge som mulig. Termokopper gjør bare at temperaturen synker saktere, de stopper ikke når den er «akkurat passe». Løsningen var å ta et materiale som smelter ved ønsket temperatur, utmålt med tysk presisjon til 58 grader. Temperaturen blir holdt der i ca 20-30 minutter. Andre materialer vil gi andre temperaturer og kan tilpasses en hvilken som helst drikk.

De er i snakk med produsenter for å lage et kommersielt produkt, ventet tidligst ved slutten av neste år. Jeg får holde meg til min faste skolekopp inntil videre.

via Make blog

Fra en nettside om geometri i høyere dimensjoner kommer dette filmkapitlet som gir en fantastisk, visuell innføring i regneoperasjoner med komplekse tall. Argumentet for å sette i på en akse vinkelrett på den reelle aksen er flott og intuitivt. Jeg finner ikke Argands artikkel på et språk jeg forstår, men det er godt mulig det er hans opprinnelige argument.

Filmene kan, i tillegg til å ses online eller kjøpes på DVD, lastes ned i høy oppløsning, og er tilgjengelige under cc-by-nc-nd. Det finnes undertekster på en del språk men ingen har bidratt med norsk teksting enda. Dette er kapittel 5 av 9. Kapittel 6 omhandler funksjoner av komplekse tall og hvordan de transformerer planet, en mulig prosjektoppgave i Matematikk X. Ellers er kapitlene langt utenfor den geometrien som undervises i videregående skole, med unntak av kapittel 1 som presenterer kartprojeksjoner.

I tallteori i Matematikk X, skal elevene kjenne til feilrettende koder og kryptering. Dette er veldig aktuelle anvendelser av kongruensregning, som frem til da virker helt umotivert. De fleste feilrettende kodene er basert på kontrollsiffer som må tilfredsstille en bestemt kongruensligning. For ISBN-koder og norske personnummer skal hvert siffer multipliseres med en bestemt koeffisient, og summen skal være kongruent med 0 mod 11.

Det som i utgangspunktet blir slitsomme oppgaver med mye bokføring, gjør wxMaxima til en lek. Trikset er å ta skalarproduktet (operatoren . ) av koeffisientvektoren og siffervektoren.

Kontrollsiffer for ISBN-10

koeffisienter: [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10];
[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]
isbn: [8,2,7,7,8,2,0,1,9,x];
[8, 2, 7, 7, 8, 2, 0, 1, 9, x]
koeffisienter . isbn;
10x + 202
solve(% = 0,x), modulus: 11;
x = 4

Fødselsnummer

Når de kjedelige utregningene er eliminert, får vi tid til å snakke om hvordan koeffisientene er satt sammen. Jeg bruker samme teknikk som Aschehougs lærebok, som forandrer koeffisientene i stedet for å følge Ernst Selmers fremstilling og snakke om «11-komplement».

pna: [8,4,5,10,3,2,7,6,9,10,0];
[8, 4, 5, 10, 3, 2, 7, 6, 9, 10, 0]
pnb: [6,7,8,9,4,5,6,7,8,9,10];
[6, 7, 8, 9, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]
individ: [1,1,0,4,9,1,2,3,8,x,y];
[1, 1, 0, 4, 9, 1, 2, 3, 8, x, y]
solve([pna . individ=0, pnb . individ=0], [x,y]), modulus: 11;
[[x = -2, y = 4]]

Maxima gir løsningen nærmest 0, x=-2, i stedet for det minste positive svaret x=9. Med en passende besvergelse er det sikkert mulig å overbevise programmet om noe annet.

Web 2.0-faktoren øker, selv om jeg føler at mange av de verktøyene er upraktiske (scribd må dø!). Innenfor tallteori i Matte X skal elevene lære å løse lineære kongruensligninger. Deling er ikke definert for heltall, men i kongruensregning kan produktet av tall bli 1 og slik gi bare en ukjent på venstre side.

Å finne en slik invers er ikke helt trivielt. Aschehougs bok legger opp til Euklids utvidede algoritme – som er ganske mye bokføring – og jeg har ikke gått i gang med wxMaxima (enda). Vi har tatt det som trening i gangetabellene og til hjelp har jeg laget et enkelt regneark, som lar en endre hvilket modulo en skal regne.

Mønstrene for ulike modulo er materiale for mange prosjektarbeid, dessverre litt i utkanten av læreplanen. Jeg hadde ikke noen interesse av abstrakt algebra-kurs når jeg studerte, men den har kommet snikende i det siste.

Jeg går nå løs på mitt tredje år med Matematikk X, et veldig morsomt fag med gode muligheter for lokal tilpasning og mer utforsking enn eksamenstrykk. For å bli en smule mer Web 2.0 har jeg laget en tidslinje med dipity.

Til vanlig er jeg ikke så veldig bekymret for at jeg ikke er på MSN (er det ut nå?), facebook og twitter, og at det er tre måneder siden sist jeg skrev noe her. Men i dag fikk Fysikk 1-klassen min i oppgave å undersøke vaskemagneter. I tillegg til søk med tradisjonelle søkemotorer, raste det inn erfaringer fra nettverket deres. Når en av de spurte moren sin på MSN, følte jeg meg både gammel og litt utenfor

Det mener Arthur Benjamin. Siden vi alle bruker (burde bruke?) statistikk og sannsynlighetsregning daglig, burde det være fokus.

Et godt poeng, men jeg lurer litt på hvordan “to standardavvik fra forventningsverdien” kan tilpasses 1P uten å bli ren kalkulatormagi”.

Når de aller fleste elevene har hatt skriftlig eksamen og det er meldt flott vær, er det på tide å komme seg ut. I dag var elevene mine ute og konstruerte med tau og fortauskritt. Vi kunne hatt noen lange lister som linjal, men de var enige i at utfordringen ble større med bare tau som de gamle egypterne.

Oppgavene gav utfordringer på mange nivå. Selv om jeg hadde gitt oppgaver på heldagsprøven som tok utgangspunkt i hjelpefigurene på arket, var det å konstruere tredeler spesielt vanskelig. Gange- og kvadratrotkonstruksjonen er hentet fra Famous Problems of Geometry and How to Solve Them, av Benjamin Bold. Se også en norsk demonstrasjon i GeoGebra av Torger Nilsen.

Grunnenheten min var ca 80cm, med navn inspirert av Talldjevelen. En dobbelttime var ganske lenge til dette, men is og litt tidlig pinse hjalp på.